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Problemario de Cálculo Diferencial — Soluciones

Página ilustrativa con ejemplos de ejercicios de Cálculo resueltos (desarrollo claro y ordenado). En próximas actualizaciones añadiremos más unidades y, posiblemente, el problemario completo.

Problemario Cálculo Chapingo: límites, derivadas, factorización, racionalización y cambio de variable con desarrollo paso a paso.

Formato
PDF · Word* · LaTeX
Entrega típica
24–48 h
Áreas
Álgebra · Cálculo

* Word incrementa el costo.

Ejemplo

$\lim_{x\to a} f(x)$, $f: A \to B$, $y = x^2 - 2x + 1$
Bloque
$$\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C$$

Unidad I: Funciones — “¿Función o relación?”

Criterio: una relación $R\subseteq A\times B$ es una función si y solo si a cada elemento $x\in A$ le corresponde un único $y\in B$. Se permite que distintos $x$ tengan el mismo $y$ (muchos‑a‑uno).

Ejercicio 4

$A=\{(-3,9),\,(-2,4),\,(0,0),\,(3,9),\,(4,16)\}$

Respuesta: Función. No se repite ningún primer componente con distinta imagen. Observa que $(-3,9)$ y $(3,9)$ comparten salida, lo cual es válido.

Ejercicio 5

$A=\{(-2,4),\,(3,9),\,(4,16),\,(5,25)\}$

Respuesta: Función. Cada $x$ aparece una sola vez; mapea como $x\mapsto x^2$.

Ejercicio 6

$B=\{(3,2),\,(3,6),\,(5,7),\,(5,8)\}$

Respuesta: No es función. El elemento $3$ tiene dos imágenes (2 y 6) y $5$ también (7 y 8).

Ejercicio 7

$C=\{(2,4),\,(3,4),\,(5,4),\,(6,4)\}$

Respuesta: Función. Varios $x$ comparten la misma salida $(4)$; eso es permitido en una función (muchos‑a‑uno).

Ejercicio 8

$D=\{(2,4),\,(6,2),\,(7,3),\,(4,12),\,(2,6)\}$

Respuesta: No es función. El primer componente $2$ se repite con dos imágenes distintas (4 y 6).

Nota: Si quieres que incorporemos más ejercicios (gráficas u otras unidades), envíame las páginas/indicaciones exactas y los agrego con el mismo formato.

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Unidad II · 2.2 Cálculo de límites por métodos analíticos

Explicación paso a paso de los ejercicios 191–205. Regla práctica: si al sustituir aparece $0/0$, factoriza el cociente completo, cancela el factor común y vuelve a evaluar.

191 · Sustitución directa (polinomio)

Problema: $\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-3x+1)$

  1. Es polinomio (continuo en todo $\mathbb{R}$) ⇒ sustituye $x=2$.
  2. Sustitución: $x^2-3x+1 \;=\; 2^2-3(2)+1 \;=\; 4-6+1$.
  3. Aritmética: $4-6=-2$ y $-2+1=-1$.

Resultado: $-1$.

192 · Producto de funciones continuas

Problema: $\displaystyle \lim_{r\to 4}\Big(\frac{2}{r}+\frac{1}{2}\Big)\Big(r^2-\frac{4}{r}\Big)$

  1. Sustituye en el 1er factor: $\frac{2}{4}+\frac12=\frac12+\frac12=1$.
  2. Sustituye en el 2o factor: $r^2-\frac{4}{r} = 4^2-\frac{4}{4}=16-1=15$.
  3. Multiplica límites: $1\cdot 15=15$.

Resultado: $15$.

193 · Cociente con denominador $\neq 0$

Problema: $\displaystyle \lim_{w\to -1}\frac{4w+3}{2w+1}$

  1. Denominador en $w=-1$: $2(-1)+1=-2+1=-1\neq 0$ ⇒ sustituye.
  2. Sustitución: $\dfrac{4(-1)+3}{2(-1)+1}=\dfrac{-4+3}{-2+1}=\dfrac{-1}{-1}$.
  3. Aritmética: $\dfrac{-1}{-1}=1$.

Resultado: $1$.

194 · Sustitución directa (y alternativa factorizando el cociente)

Problema: $\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^2+6x+9}{x^2+7x+12}$

  1. Sustituye $x=3$ en cada parte: numerador $=3^2+6(3)+9=9+18+9=36$; denominador $=3^2+7(3)+12=9+21+12=42$.
  2. Forma el cociente: $\dfrac{36}{42}=\dfrac{6}{7}$.
  3. También puedes factorizar el cociente completo: $$\frac{x^2+6x+9}{x^2+7x+12}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+4)}=\frac{\cancel{(x+3)}(x+3)}{\cancel{(x+3)}(x+4)}=\frac{x+3}{x+4} \Rightarrow \frac{6}{7}.$$

Resultado: $\dfrac{6}{7}$.

Unidad III · 3.2 Reglas de derivación

Usaremos: (1) regla de la potencia $\frac{d}{dx}\big(x^n\big)=n\,x^{n-1}$, (2) constante por función $\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$, (3) suma/resta término a término y (4) la derivada de una constante es $0$.

295 · $f(x)=3x^3+5x^2-7x+4$

  1. Deriva término a término: $$\frac{d}{dx}(3x^3)=3\cdot 3x^{2}=9x^2,\quad \frac{d}{dx}(5x^2)=5\cdot 2x^{1}=10x,\quad \frac{d}{dx}(-7x)=-7,\quad \frac{d}{dx}(4)=0.$$
  2. Une resultados: $$f'(x)=9x^2+10x-7.$$

Resultado: $f'(x)=9x^2+10x-7$.

296 · $f(z)=5a\,z^4-3b\,z^2$ (con $a,b$ constantes)

  1. Aplica constante por función y potencia respecto de $z$: $$\frac{d}{dz}\big(5a\,z^4\big)=5a\cdot 4z^3=20a\,z^3,\qquad \frac{d}{dz}\big(-3b\,z^2\big)=-3b\cdot 2z=-6b\,z.$$
  2. Conclusión: $$f'(z)=20a\,z^3-6b\,z.$$

Resultado: $f'(z)=20a\,z^3-6b\,z$.

297 · $g(w)=\tfrac{7}{12}w^6-\tfrac{5}{2}w^4-\tfrac{1}{3}w+8$

  1. Deriva cada término: $$\frac{d}{dw}\!\left(\tfrac{7}{12}w^6\right)=\tfrac{7}{12}\cdot 6\,w^5=\tfrac{7}{2}\,w^5,$$ $$\frac{d}{dw}\!\left(-\tfrac{5}{2}w^4\right)=-\tfrac{5}{2}\cdot 4\,w^3=-10\,w^3,$$ $$\frac{d}{dw}\!\left(-\tfrac{1}{3}w\right)=-\tfrac{1}{3},\qquad \frac{d}{dw}(8)=0.$$
  2. Junta todo: $$g'(w)=\tfrac{7}{2}w^5-10w^3-\tfrac{1}{3}.$$

Resultado: $g'(w)=\tfrac{7}{2}w^5-10w^3-\tfrac{1}{3}$.

298 · $f(t)=\dfrac{5}{t^3}$

  1. Reescribe con exponente: $f(t)=5\,t^{-3}$.
  2. Aplica potencia: $\dfrac{d}{dt}\big(5\,t^{-3}\big)=5\cdot(-3)\,t^{-4}=-15\,t^{-4}$.
  3. Forma fracción positiva: $-15\,t^{-4}=-\dfrac{15}{t^4}$.

Resultado: $f'(t)=-\dfrac{15}{t^4}$.

Unidad III · 3.4 Derivada y problemas geométricos

Idea clave: una recta tangente horizontal en $x=a$ significa que la pendiente es $0$, es decir, $y'(a)=0$. El procedimiento es: (1) derivar, (2) resolver $y'(x)=0$, (3) evaluar $y$ en esos $x$ (si piden los puntos).

336 · ¿Para qué valores de $x$ la curva $g(x)=3x^2-6x+1$ tiene tangente horizontal?

  1. Deriva: $g'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x^2)-\dfrac{d}{dx}(6x)+\dfrac{d}{dx}(1)=6x-6+0=6x-6$.
  2. Impón horizontalidad: $g'(x)=0 \;\Rightarrow\; 6x-6=0 \;\Rightarrow\; 6x=6 \;\Rightarrow\; x=1$.
  3. [Opcional] Punto correspondiente: $g(1)=3(1)^2-6(1)+1=3-6+1=-2$ ⇒ $(1,-2)$.

Respuesta: $x=1$.

337 · Puntos donde la tangente a $f(x)=\tfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$ es horizontal

  1. Deriva: $$\begin{aligned} f'(x)&=\tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 - 2x - 3 + 0 \\ &= x^2 - 2x - 3. \end{aligned}$$
  2. Resuelve $f'(x)=0$: $x^2-2x-3=0=(x-3)(x+1)$ ⇒ $x=3$ y $x=-1$.
  3. Calcula los puntos:
    • Para $x=3$: $$f(3)=\tfrac{1}{3}(27)-9-9+4=9-9-9+4=-5.$$ Punto: $(3,-5)$.
    • Para $x=-1$: $$f(-1)=\tfrac{1}{3}(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+4=-\tfrac{1}{3}-1+3+4=\tfrac{17}{3}.$$ Punto: $(-1,\tfrac{17}{3})$.

Respuesta: $(3,-5)$ y $\big(-1,\tfrac{17}{3}\big)$.

338 · Puntos donde la tangente a $p(x)=2x^3+3x^2-12x+1$ es horizontal

  1. Deriva: $$\begin{aligned} p'(x)&=6x^2+6x-12 \\ &=6(x^2+x-2)=6(x-1)(x+2). \end{aligned}$$
  2. Resuelve $p'(x)=0$: $6(x-1)(x+2)=0$ ⇒ $x=1$ y $x=-2$.
  3. Calcula los puntos:
    • Para $x=1$: $$p(1)=2(1)^3+3(1)^2-12(1)+1=2+3-12+1=-6.$$ Punto: $(1,-6)$.
    • Para $x=-2$: $$p(-2)=2(-8)+3(4)-12(-2)+1=-16+12+24+1=21.$$ Punto: $(-2,21)$.

Respuesta: $(1,-6)$ y $(-2,21)$.

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