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Problemario de Álgebra I — Ejercicios resueltos

Página ilustrativa con ejemplos muy explicados de Álgebra I: ecuación lineal, función lineal, sistemas (2x2 y 3x3), desigualdades y polinomios. Pensado para estudiantes de Chapingo (y similares).

Problemario Cálculo Chapingo: límites, derivadas, factorización, racionalización y cambio de variable con desarrollo paso a paso.

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Resumen

  • Ecuación lineal y problemas
  • Función lineal y pendiente
  • Sistemas 2x2 (reducción/sustitución) y 3x3 (Gauss)
  • Desigualdad lineal e intervalos
  • Polinomios: suma, productos y factorización

Ejercicios seleccionados y resueltos

Selección basada en los temas clave del Problemario de Álgebra I (UACh): ecuación lineal, función lineal, sistemas de ecuaciones y desigualdades. Cada ejemplo muestra todos los pasos.

Ecuación lineal con enteros

Problema: Resuelve $2(3x-5)+4=3x+7$.

  1. Distribuye: $2(3x-5)=6x-10$.
  2. Ecuación: $6x-10+4=3x+7 \Rightarrow 6x-6=3x+7$.
  3. Pasa $3x$ a la izquierda: $6x-3x=7+6 \Rightarrow 3x=13$.
  4. Despeja: $x=\dfrac{13}{3}$.

Resultado: $\;x=\frac{13}{3}$.

Ecuación lineal con fracciones

Problema: Resuelve $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x-2}{4}=5$.

  1. MCM de 3 y 4: $12$. Multiplica toda la ecuación por $12$.
  2. $12\cdot\dfrac{x}{3}+12\cdot\dfrac{x-2}{4}=12\cdot5 \Rightarrow 4x+3(x-2)=60$.
  3. Simplifica: $4x+3x-6=60 \Rightarrow 7x=66$.
  4. Despeja: $x=\dfrac{66}{7}$.

Resultado: $\;x=\dfrac{66}{7}$.

Ecuación literal (despeje de variable)

Problema: En $ax+by=c$, despeja $y$.

  1. Resta $ax$ en ambos lados: $by=c-ax$.
  2. Divide entre $b\neq0$: $y=\dfrac{c-ax}{b}=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$.

Forma pendiente-intersección: $y=mx+b$ con $m=-\dfrac{a}{b}$.

Función lineal a partir de dos puntos

Halla $y=mx+b$ que pasa por $(-1,2)$ y $(3,10)$.

  1. Pendiente: $m=\dfrac{10-2}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2$.
  2. Sustituye en $y=mx+b$ con $(-1,2)$: $2=2(-1)+b \Rightarrow b=4$.
  3. Ecuación: $y=2x+4$.

Resultado: $y=2x+4$.

De ecuación general a función lineal

Convierte $3x-2y=8$ a $y=mx+b$.

  1. Aísla $y$: $-2y=8-3x$.
  2. Divide por $-2$: $y=\dfrac{3}{2}x-4$.

Resultado: $y=\tfrac{3}{2}x-4$.

Sistema 2x2 (reducción)

Resuelve $\begin{cases}2x+3y=7\\ 4x-3y=5\end{cases}$.

  1. Suma ecuaciones (se cancela $y$): $(2x+3y)+(4x-3y)=7+5 \Rightarrow 6x=12$.
  2. $x=2$. Sustituye en $2x+3y=7$: $4+3y=7 \Rightarrow 3y=3 \Rightarrow y=1$.

Solución: $(x,y)=(2,1)$.

Sistema 3x3 (eliminación de Gauss)

Resuelve $\;\begin{cases} x+ y+ z=6\\ 2x- y+3z=10\\ -x+2y+2z=5 \end{cases}$.

Paso 1: Elimina $x$ de (2) y (3) con respecto a (1). De (2)-(2)·(1): $(2x-y+3z)-2(x+y+z) = -3y+z= -2$.

De (3)+(1): $(-x+2y+2z)+(x+y+z)=3y+3z=11$.

Paso 2: Sistema reducido en $y,z$: $\begin{cases}-3y+z=-2\\ 3y+3z=11\end{cases}$.

De la primera: $z=-2+3y$. Sustituye en la segunda: $3y+3(-2+3y)=11 \Rightarrow 3y-6+9y=11 \Rightarrow 12y=17 \Rightarrow y=\dfrac{17}{12}$.

$z=-2+3\cdot\dfrac{17}{12}=\dfrac{-24+51}{12}=\dfrac{27}{12}=\dfrac{9}{4}$.

Paso 3: Usa (1): $x=6-y-z=6-\dfrac{17}{12}-\dfrac{9}{4}=6-\dfrac{17}{12}-\dfrac{27}{12}=\dfrac{72-44}{12}=\dfrac{28}{12}=\dfrac{7}{3}$.

Solución: $\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{7}{3},\dfrac{17}{12},\dfrac{9}{4}\right)$.

Desigualdad lineal e intervalos

Resuelve $\,3(2x-1)-5\le 4x+7$ y expresa la solución en intervalo.

  1. Desarrolla: $6x-3-5\le 4x+7 \Rightarrow 6x-8\le 4x+7$.
  2. Pasa $4x$: $2x\le 15 \Rightarrow x\le \dfrac{15}{2}$.

Solución: $(-\infty,\;15/2]$.

Polinomios: factorización rápida

Factoriza $\,9x^2-25$.

  1. Reconoce $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ con $a=3x$, $b=5$.
  2. $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$.

Resultado: $(3x-5)(3x+5)$.

Problema de mezcla (porcentajes)

Mezclar $x$ L de solución al 30% con $10$ L al 16% para obtener 20%. Encuentra $x$.

  1. Ecuación del “puro”: $0.30x+0.16(10)=0.20(x+10)$.
  2. $0.30x+1.6=0.20x+2 \Rightarrow 0.10x=0.4 \Rightarrow x=4$.

Se necesitan: $4$ litros al 30%.

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